Question

今年国庆节期间，上海世博会中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．
（1）求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；
（2）求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）令A={互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，互换的都是广东旅游团时中国馆恰有2个广东旅游团事件A₁的概率P(A1)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．互换的都是湖南旅游团时中国馆恰有2个广东旅游团事件A₂的概率P(A2)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，由此能求出互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率．
（Ⅱ）设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答： （本题满分13分） 
解：（Ⅰ）令A={互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，
①互换的都是广东旅游团，
则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A₁的概率P(A1)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．（2分）
②互换的都是湖南旅游团，
则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A₂的概率P(A2)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

．（4分）
又A=A₁+A₂，A₁，A₂互斥，
则 P(A)=P(A1)+P(A2)=

1

5

+

3

10

=

1

2

．（5分）
答：互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为

1

2

．（6分）
（Ⅱ）设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1，2，3，（7分）
P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，
P(ξ=2)=

1

2

，
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

，
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

所以Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

．（12分）
答：互换后中国馆内广东旅游团数的期望

19

10

．（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．