Question

8．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称中心坐标；
（2）求函数f（x）的单调增区间及f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性以及图象的对称性，求得函数f（x）的最小正周期及其图象的对称中心坐标．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数的增区间，再利用定义域和值域求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$；
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，可得它的其图象的对称中心坐标为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$ 时，函数f（x）取得最小值为-1；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及图象的对称性；还考查了正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．