题目内容
设函数f（x）=mx2-（4+m2）x，其中m∈R且m＞0，区间D={x|f（x）＜0}，给定常数t∈（0，2），当2-t≤m≤2+t时，求区间D的长度的最大值．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：首先解不等式f（x）＜0，可得区间D，由区间长度定义可求得D的长度；然后设d（m）=
，则d′（m）=
，令d′（m）=0，得m=4，根据t∈（0，2），判断出当2-t≤m≤2+t时，d（m）单调递减，进而求出区间D的长度的最大值即可．
| m2+4 |
| m |
| m2-4 |
| m2 |
解答：
解：因为方程mx2-（4+m2）x=0（m＞0）有两个实根x1=0，x2=
＞0，
故f（x）＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，
因此区间D=（0，
），区间长度为
；
设d（m）=
，则d′（m）=
，
令d′（m）=0，得m=4，
由于0＜t＜2，
故当2-t≤m＜2+t时，d′（m）＜0，d（m）单调递减，
因此当2-t≤m≤2+t时，d（m）的最大值必定在m=2-t处取得，
即当m=2-t时，区间D的长度的最大值为
．
| m2+4 |
| m |
故f（x）＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，
因此区间D=（0，
| m2+4 |
| m |
| m2+4 |
| m |
设d（m）=
| m2+4 |
| m |
| m2-4 |
| m2 |
令d′（m）=0，得m=4，
由于0＜t＜2，
故当2-t≤m＜2+t时，d′（m）＜0，d（m）单调递减，
因此当2-t≤m≤2+t时，d（m）的最大值必定在m=2-t处取得，
即当m=2-t时，区间D的长度的最大值为
| t2-4t+8 |
| 2-t |
点评：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用，属于中档题．
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C、a-b=0的充要条件是
| ||
| D、若p∧q为假，则p∨q为假 |
