Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点$（{0，-\frac{1}{2}}）$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当△AOB（O为坐标原点）面积取最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及b=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，求得m和k的关系，利用点到直线的距离公式及弦长公式，二次函数的性质，即可求得△AOB面积取最大值．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ 2b=2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
故椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
当△=8（2k²-m²+1）＞0，即2k²＞m²-1时，${x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$．
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{-2km}{{1+2{k^2}}}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{m}{{1+2{k^2}}}$．
由线段AB的垂直平分线过点$（{0，-\frac{1}{2}}）$，则$\frac{{\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}-（{-\frac{1}{2}}）}}{{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-0}}$=$-\frac{1}{k}$，
化简整理得2k²+1=2m．
由$\left\{\begin{array}{l}2{k^2}+1=2m\\ 2{k^2}+1＞{m^2}\end{array}\right.$得0＜m＜2．
又原点O到直线AB的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$．$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$2\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{4{k^2}-2{m^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d$=$\frac{{|m|\sqrt{4{k^2}-2{m^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
而2k²+1=2m且0＜m＜2，则${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{4m-2{m^2}}$，0＜m＜2．
∴当m=1，即${k^2}=\frac{1}{2}$时，S_△AOB取得最大值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
综上S_△AOB的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
此时直线l：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$或$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查二次函数的最值与椭圆的关系，考查计算能力，属于中档题．