Question

如图，在正方体ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．
（1）求证：AD₁∥平面EFG；
（2）求证：平面AB₁D₁∥平面EFG；
（3）求异面直线B₁D₁与EG所成的角度数．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先，连结C₁B，然后，得到四边形ABC₁D₁是平行四边形，从而得证；
（2）根据（1）可以证明AB₁∥平面EFG，从而证明；
（3）根据平行关系，得到∠FEG就是异面直线B₁D₁与EG所成的角，然后放到三角形中求解．

解答： 解：（1）连结C₁B，
∵AB∥B₁C₁，且AB=B₁C₁
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，
∴AD₁∥BC₁，
又∵E、G为中点，
∴BC₁∥EG，
∴AD₁∥EG，
∴AD₁∥平面EFG；
（2）结合（1），同理可以证明
AB₁∥平面EFG，
∵AB₁∩AD₁=A，
∴平面AB₁D₁∥平面EFG；
（3）∵BD∥B₁D₁，且BD∥EF，
∴∠FEG就是异面直线B₁D₁与EG所成的角，
在△EFG中，显然为等边三角形，
∴异面直线B₁D₁与EG所成的角为60°．

点评：本题重点考查了空间中平行关系、异面直线所成的角等知识，考查比较综合，解题关键是学会转化思想在立体几何中的应用．