Question

13．已知△ABC三边分别为a，b，c，且a²+c²=b²+ac，则边b所对应的角B大小为60°；此时，如果AC=2$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最大值为6+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①利用余弦定理，即可求出角B的大小；
②利用正弦定理求出c=4sinC，从而写出$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，再利用三角恒等变换以及角C的取值范围，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：①△ABC中，a²+c²=b²+ac，
∴a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0°，180°），
∴B=60°；
②由AC=b=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∴c=4sinC；
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=cb•cosA
=2$\sqrt{3}$c•cosA
=2$\sqrt{3}$×4sinC•cosA
=8$\sqrt{3}$sinCcos（120°-C）
=8$\sqrt{3}$sinC（-$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）
=-4$\sqrt{3}$sinCcosC+12sin²C
=-2$\sqrt{3}$sin2C+12×$\frac{1-cos2C}{2}$
=-2$\sqrt{3}$sin2C-6cos2C+6
=-4$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2C+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2C）+6
=-4$\sqrt{3}$sin（2C+60°）+6；
又C∈（0°，120°），
∴2C+60°∈（60°，300°），
∴当2C+60°=270°，即C=105°时，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$取得最大值为-4$\sqrt{3}$×（-1）+6=4$\sqrt{3}$+6．
故答案为：60°，4$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合性题目．