题目内容
15．
如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有①②①三棱锥M-DCC1的体积为定值
②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值为90°
④AM+MD1的最小值为2．
分析 ①由A1B∥平面DCC1D1，可得线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值$\frac{1}{2}$，即可得出三棱锥M-DCC1的体积为定值．
②由A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，可得C1⊥面A1BCD1，即可判断出正误．
③当0＜A1P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，利用余弦定理即可判断出∠APD1为钝角；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误．
解答 解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值$\frac{1}{2}$，因此三棱锥M-DCC1的体积V=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P?面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos135°}$=$\sqrt{2+\sqrt{2}}$＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故答案为①②．
点评 本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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