Question

5．已知$\overrightarrow{a}$=（2$\sqrt{3}$sinx，sinx+cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=$\frac{2b-a}{2c}$，若f（A）-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积公式和三角函数的化简即可得到函数的解析式，再根据正弦函数的单调性即可求出答案减区间，
（Ⅱ）由余弦定理或正弦定理求出即$C=\frac{π}{3}$，即可求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+（sinx+cosx）（sinx-cosx）=$2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$．
所以函数f（x）的单调减区间为$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]$，
（Ⅱ）（法一）由 $cosA=\frac{2b-a}{2c}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$．
可得2b²-ac=b²+c²-a²即b²-c²+a²=ab．
解得cosC=$\frac{1}{2}$即C=$\frac{π}{3}$    
因为$0＜A＜\frac{2π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
因为$f（A）-m=2sin（2A-\frac{π}{6}）-m＞0$恒成立，则$2sin（2A-\frac{π}{6}）＞m$恒成立
所以m≤-1．                       
（法二）由$cosA=\frac{2b-a}{2c}$可得2cosAsinc=2sinB-sinA=2sin（A+C）-sinA
即2sinAcosC-sinA=0，解得$cosC=\frac{1}{2}$，即$C=\frac{π}{3}$
因为$0＜A＜\frac{2π}{3}$，所以$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$
因为$f（A）-m=2sin（2A-\frac{π}{6}）-m＞0$恒成立，则$2sin（2A-\frac{π}{6}）＞m$恒成立
即m≤-1．

点评 本题考查了向量的数量积的运算正弦函数的单调性，正弦定理和余弦定理，属于中档题