Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-

1

2

ax²+x+2．
（Ⅰ）若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）设f（x）的导函数为f′（x）．若?α∈（

π

4

，

π

2

）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）求出导数，再由二次函数的图象和性质，只要令判别式不大于0，即可得到；
（Ⅱ） 由于f′（x）=2x²-ax+1关于x=

a

4

对称，再由条件可得

a

4

=

sinα+cosα

2

，运用三角函数的两角正弦公式和正弦函数的性质，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=2x²-ax+1，
由于f（x）在R上单调递增，
则f′（x）≥0在R上恒成立，
则有△≤0，即a²-8≤0，
解得-2

2

≤a≤2

2

；
（Ⅱ） 由于f′（x）=2x²-ax+1关于x=

a

4

对称，
又α∈(

π

4

，

π

2

)，sinα＞cosα，
?α∈（

π

4

，

π

2

）使f′（sinα）=f′（cosα）成立，
则

a

4

=

sinα+cosα

2

，
即a=2（sinα+cosα）=2

2

sin(α+

π

4

)，
由于α∈(

π

4

，

π

2

)，则

π

2

＜α+

π

4

＜

3π

4

，
则

2

2

＜sin(α+

π

4

)＜1，
故有a∈(2，2

2

)．

点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查二次函数的性质，以及三角函数的性质和运用，属于中档题．