Question

20．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（4，3），$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，|$\overrightarrow{c}$|=1，求实数x和y的值．

Answer 1

分析 根据向量的坐标运算得到$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$=（3x+4y，4x+3y），根据向量模的计算，向量垂直得到关于x，y的方程组，解得即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（4，3），
∴$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$=（3x+4y，4x+3y），
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=3（3x+4y）+4（4x+3y），即3x+4y=-$\frac{4}{3}$（4x+3y）①
∵|$\overrightarrow{c}$|=1，
∴（3x+4y）²+（4x+3y）²=1，②，
由①②得，
$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=\frac{4}{5}}\\{4x+3y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y=-\frac{4}{5}}\\{4x+3y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{35}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{24}{35}}\\{y=-\frac{5}{7}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积的运算以及方程组的解法，属于中档题．