Question

9．已知集合A={x|x²-x-2＞0}，B={x|2x²+（2k+5）x+5k＜0}．
（1）若k＜0时，求B；
（2）若A∩B中有且仅有一个整数-2，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）B={x|2x²+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．由k＜0，能求出结果．
（2）集合A={x|x＜-1或x＞2}，B={x|（2x+5）（x+k）＜0}．由-$\frac{5}{2}$与-k的大小关系进行分类讨论，能求出A∩B中有且仅有一个整数-2，实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵k＜0，
∴B={x|2x²+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．
={x|-$\frac{5}{2}$＜x＜-k}．
（2）集合A={x|x²-x-2＞0}={x|x＜-1或x＞2}，
B={x|2x²+（2k+5）x+5k＜0}={x|（2x+5）（x+k）＜0}．
当-$\frac{5}{2}$＞-k，即k＞$\frac{5}{2}$时，B={x|-k＜x＜-$\frac{5}{2}$}，A∩B中没有整数-2，不满足条件；
当k=$\frac{5}{2}$时，B=∅，不满足条件；
当k＜$\frac{5}{2}$时，$-\frac{5}{2}＜-k$，B={x|-$\frac{5}{2}$＜x＜-k}，
要使A∩B={-2}，则-2＜-k≤-1，解得1≤k＜2，
∴A∩B中有且仅有一个整数-2，实数k的取值范围是[1，2）．

点评 本题考查集合的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．