Question

20．已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的范围；
（3）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=0，不等式f（x）≥x化为不等式|x+1|-|x|≥x，分类讨论，即可求得f（x）≥x的解集；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|-|x+1|≤a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的范围；
（3）u（x）=|x+1|-|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=0，不等式f（x）≥x化为不等式|x+1|-|x|≥x．
x≤-1时，-x-1+x≥x，∴x≤-1；
-1＜x＜0时，x+1+x≥x，∴-1＜x＜0；
x≥0时，x+1-x≥x，∴0≤x≤1；
综上所述，不等式f（x）≥x的解集为{x|x≤1}；
（2）若对任意x∈R，f（x）≥0恒成立，|x|-|x+1|≤a恒成立，
∵|x|-|x+1|≤|x-x-1|=1，∴a≥1；
（3）设u（x）=|x+1|-|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．

易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，
从而-1＜a＜0．
所以实数a的取值范围为（-1，0）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与方程的应用，分段函数的图象和性质，综合性较强，属于中档题．