Question

1．在正四面体P-ABC体积为V，现内部取一点S，则$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$的概率为（　　）

• A． $\frac{37}{216}$
• B． $\frac{8}{27}$
• C． $\frac{91}{216}$
• D． $\frac{13}{27}$

Answer 1

分析 首先确定满足条件的点S的区域，即区域D；然后确定所求的事件中的点所在区域d；分别计算区域D和d的体积；最后计算所求概率

解答 解：作出P在底面△ABC的射影为O，
若V_S-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，则高OS=$\frac{1}{2}$OP，
分别取PA、PB、PC上的点E、F、D，
并使SE=2EA，SF=2FC，SD=2DB，如图
并连结EF、FD、DE，则平面EFD∥平面ABC．
当点S在正四面体P-EFD内部运动时，
即此时S在三棱锥V_P-ABC的中垂面DEF上，
满足V_S-ABC＜$\frac{1}{2}$V_P-ABC的点P位于在三棱锥V_P-ABC的中垂面DEF以下的棱台内，
同理，V_S-ABC＞$\frac{1}{3}$V_P-ABC的S在距离ABC为$\frac{1}{3}$OS的平面以上的棱锥内，
所以满足$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$的棱台体积为（1$-\frac{1}{8}V$）-（1-$\frac{8}{27}V$）=$\frac{37}{216}V$；
由几何概型，满足“$\frac{V}{3}＜{V_{S-ABC}}＜\frac{V}{2}$”的概率为$\frac{\frac{37V}{216}}{V}=\frac{37}{216}$，
故选A．

点评 本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，解题的关键是确定点P所表示的区域，利用体积比求概率．