Question

10．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin²θ-cosθ=0，点$M（{1，\frac{π}{2}}）$．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为-1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）求两点A，B之间的距离．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；根据直线的斜率和点的坐标，求出直线的方程即可；
（2）设出A，B的坐标，根据弦长公式求出|AB|的长即可．

解答 解：（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ-cosθ=0得ρ²sin²θ=ρcosθ．
∴y²=x即为曲线C的直角坐标方程； 
点M的直角坐标为（0，1），
直线l的斜率是-1，故直线l的方程是：y-1=-x，
即x+y-1=0；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（1）得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，
得x²-3x+1=0，
故x₁+x₂=3，x₁x₂=1，
由弦长公式得|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．