Question

8．经过P（0，1）的直线l与两直线l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0分别交于P₁、P₂且满足$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，则直线l的方程为y=1．

Answer 1

分析 先讨论可得当直线l的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，求出直线的斜率，可得直线的方程．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
此时直线l与两直线l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0的交点P₁、P₂的坐标分别为（0，$\frac{10}{3}$）（0，8），
不满足$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，
故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为：y=kx+1，
则直线l与两直线l₁：x-3y+10=0和l₂：2x+y-8=0的交点P₁、P₂的横坐标分别为$\frac{7}{3k-1}$，$\frac{7}{k+2}$，
∵$\overrightarrow{{P_1}P}=2\overrightarrow{P{P_2}}$，
∴0-$\frac{7}{3k-1}$=2（$\frac{7}{k+2}$-0），
解得：k=0，
故直线l的方程为：y=1；
故答案为：y=1

点评 本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档．