Question

9．已知点P（2，0），抛物线y²=4x，过P作斜率分别为k₁，k₂的两条直线交抛物线于A，B，C，D四点，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
（Ⅰ）若k₁•k₂=-1，求△PMN的面积的最小值；
（Ⅱ）若k₁+k₂=1，求证：直线MN过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k₁•k₂=-1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值；
（Ⅱ）不妨设AB的斜率k₁=k，求出CD的斜率k₂=1-k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线过的定点坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵k₁•k₂=-1，∴两直线互相垂直，
设AB：x=my+2，则CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2，
x=my+2代入y²=4x，得y²-4my-8=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴M（2m²+2，2m）．
同理N（$\frac{2}{{m}^{2}}$+2，-$\frac{2}{m}$），
∴|PM|=2|m|•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|PN|=$\frac{2}{{m}^{2}}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|PM||PN|=$\frac{1}{|m|}$（m²+1）=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，
当且仅当m=±1时取等号，
∴△PMN面积的最小值为4；
（Ⅱ）证明：由题意知，k₁+k₂=1，
不妨设AB的斜率k₁=k，则CD的斜率k₂=1-k，
所以AB的直线方程是：y=k（x-2），CD的直线方程是y=（1-k）（x-2），
设A（x₁′，y₁′），B（x₂′，y₂′），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，
则x₁′+x₂′=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁′x₂′=m²，
所以y₁′+y_2′=k（x₁′-2）+k（x₂′-2）=k（4+$\frac{4}{{k}^{2}}$）-4k=$\frac{4}{k}$，
因为M是AB的中点，所以点M（2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
同理可得，点N（2+$\frac{2}{{（1-k）}^{2}}$，$\frac{2}{1-k}$），
所以直线MN的方程是：y-$\frac{2}{k}$=$\frac{\frac{2}{k}-\frac{2}{1-k}}{\frac{2}{{k}^{2}}-\frac{2}{{（1-k）}^{2}}}$（x-2-$\frac{2}{{k}^{2}}$），
化简得，y=（k-k²）（x-2）+2，令x=2，得y=2，
所以直线MN过定点（2，2）．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．