Question

17．在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=3．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（-1，2），直线l与曲线C分别交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析 （I）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρ=3，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：t²+（2-$\sqrt{3}$）t-4=0，可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|．

解答 解：（I）直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.$，消去参数t可得普通方程：x+$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$+1=0．
曲线C的极坐标方程为ρ=3，可得直角坐标方程：x²+y²=9．
（II）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=2+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：t²+（2-$\sqrt{3}$）t-4=0，
∴t₁t₂=-4．
∴|PM|•|PN|=|t₁t₂|=4．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．