Question

18．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}-1，}&{x≤0}\\{ln（x+1），}&{x＞0}\end{array}}$，若f（x）≤ax，则a的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． [1，+∞）
• C． [2，+∞]
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 分x＞0，x≤0两种情况进行讨论，x＞0时可知要使不等式恒成立，须有a≤0；x≤0时，再分x=0，x＜0两种情况讨论，分离参数a后化为函数最值可求，注意最后对a范围取交集．

解答 解：（1）当x＞0时，ln（x+1）＞0，要使f（x）≤ax，即ln（x+1）≤ax恒成立，则此时a≥1．
（2）当x≤0时，-x²-1≤ax，
若x=0，则左边＜右边，a取任意实数；
若x＜0时，-x²-1≤ax可化为a≤-x-$\frac{1}{x}$，此时须满足a≤2．
综上可得，a的取值为[1，2]，
故选A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题常常转化为函数最值解决．