Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$+lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²．
（1）设h（x）=f（x）+g（x），求曲线y=h（x）在点（1，h（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算h′（1），h（1），代入切线方程即可；
（2）令m（x）=f（x）-g（x），求出m（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出m（x）≤0，证出结论即可．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{1}{2}$+lnx+$\frac{1}{2}$x²，
∴h′（x）=$\frac{1{+x}^{2}}{x}$，（x＞0），
∴k=h′（1）=2，h（1）=1，
切线方程是：y-1=2（x-1），
即2x-y-1=0；
（2）证明：令m（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}$+lnx-$\frac{1}{2}$x²，
则m′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，（x＞0），
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令m′（x）＜0，解得：x＞1，
∴m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴m（x）_max=m（1）=0，
故f（x）≤g（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．