Question

已知椭圆E的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0），离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线过定点P（

1

2

，0），求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由条件知椭圆的焦点在x轴上，c=1，由离心率e=

2

2

，求出a，再根据b²=a²-c²，求出b，从而写出椭圆方程；
（Ⅱ）联立直线l和椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用判别式大于0，韦达定理得到m²＜1+2k²，x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，再根据l经过中点D，求出D的坐标，设出中垂线方程，代入D的坐标，再结合m²＜1+2k²，解不等式即可得到k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点x轴上，c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消去y得，（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆有两个交点，∴16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，可得m²＜1+2k²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，∴AB中点的横坐标为x₀=

-2km

1+2k2

，
AB中点的纵坐标为y₀=kx₀+m=

m

1+2k2

，∴AB的中点D（-

2km

1+2k2

，

m

1+2k2

），
设AB中垂线l′的方程为：y=-

1

k

（x-

1

2

），
∵D在l'上，∴D点坐标代入l′的方程可得，m=

-1-2k2

2k

，
将m²＜1+2k²代入解得，k＞

2

2

或k＜-

2

2

，
∴实数k的取值范围是（-∞，-

2

2

）∪（

2

2

，+∞）．

点评：本题主要考查椭圆的简单性质：离心率，同时考查直线与椭圆相交的位置关系，注意联立方程，消去一个未知数，运用二次方程的韦达定理，注意判别式必须大于0．