Question

定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=-tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；
②“关于

1

2

函数”至少有一个零点；
③f（x）=x²是一个“关于t函数”．
其中正确结论的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．

解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；
②正确，若f（x）是“是关于

1

2

函数”，则f(x+

1

2

)+

1

2

f（x）=0，取x=0，则f(

1

2

)+

1

2

f（0）=0，
若f（0）、f (

1

2

)任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f (

1

2

)均不为0，则f（0）、f (

1

2

)异号，
由零点存在性定理知，在(0，

1

2

)区间内存在零点；
若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=-1，矛盾．③不正确，
∴正确结论的个数是1．
故选：A．

点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．