Question

当x∈[-2，1]时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-5，-3]
• B、[-6，-

  9

  8

  ]
• C、[-6，-2]
• D、[-4，-3]

Answer 1

考点：函数恒成立问题,其他不等式的解法

专题：综合题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．

解答：解：当x=0时，不等式ax³-x²+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，则f′（x）=-

1

x2

+

8

x3

+

9

x4

=-

(x-9)(x+1)

x4

（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴a≥-6；
当-2≤x＜0时，ax³-x²+4x+3≥0可化为a≤

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴a≤-2；
综上所述，实数a的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a的取值范围是[-6，-2]．
故选C．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．