Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

）且离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C上一点P向圆O：x²+y²=r²，（r＞0）引两条切线，切点分别为A，B
（Ⅰ）若存在点P使∠APB=60°，求r的最大值；
（Ⅱ）在Ⅰ的条件下，过x轴上一点（m，0）做圆O的切线l，交椭圆C于M，N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

）且离心率为

3

2

．可得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）（I）设P（2cosθ，sinθ）．如图所示，连接OA，OB，OP．由于OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，可得r=

1

2

|OP|=

1

2

4cos2θ+sin2θ

=

1

2

3cos2θ+1

，即可得出．
（II）当直线l的斜率不存在时，切线l的方程为：x=±1．代入椭圆方程可得|MN|=

3

．
当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用直线与圆的相切性质可得r=

|km|

1+k2

=1.1+k²=k²m²．
直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．△=16（1+4k²-k²m²）＞0．利用根与系数的关系可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=4

3

1 16- 8k2-1 k4+k2

．设k²=t＞0，令f（t）=

8t-1

t2+t

，利用导数研究其单调性可得：当t=

1

2

时，f（t）取得最大值4，|MN|取得最大值2．当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→

3

．即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

）且离心率为

3

2

．
∴

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）（I）设P（2cosθ，sinθ）．
如图所示，连接OA，OB，OP．
∵OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，
∴∠AOP=60°，∠APO=30°．
∴r=

1

2

|OP|=

1

2

4cos2θ+sin2θ

=

1

2

3cos2θ+1

≤

1

2

3+1

=1，
∴r的最大值是1．
（II）当直线l的斜率不存在时，切线l的方程为：x=±1．代入椭圆方程可得y=±

3

2

，此时|MN|=

3

．
当直线l的斜率存在时，设切线l的方程为：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则r=

|km|

1+k2

=1．可得1+k²=k²m²．
联立

y=k(x-m) x2+4y2=4

，
化为（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．
△=64k⁴m²-4（1+4k²）（4k²m²-4）=16（1+4k²-k²m²）＞0．
∴x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 (1+k2)(1+4k2-k2m2)

1+4k2

=4

3

•

k2(1+k2) (1+4k2)2

=4

3

1 16- 8k2-1 k4+k2

．
设k²=t＞0，令f（t）=

8t-1

t2+t

，f′（t）=

8(t2+t)-(8t-1)(2t+1)

(t2+t)2

=

-(4t+1)(2t-1)

(t2+t)2

，可知：当t=

1

2

时，f（t）取得最大值4，
∴|MN|取得最大值2．
当t→+∞时，f（t）→0，|MN|→

3

．
综上可得：|MN|的最小值为

3

．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交相切转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、弦长公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．