Question

两定点A（1，0），B（-1，0），动点P在y轴上的射影为Q，则

PA

•

PB

+

PQ

2=0
（1）求动点P的轨迹E的方程．
（2）直线l交y轴于点C（0，m），交轨迹E与M、N两点，且满足

MC

=3

CN

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），Q（0，y）.

PA

=（1-x，-y），

PB

=（-1-x，-y），

PQ

=（-x，0）．利用数量积运算即可得出．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

MC

=3

CN

，可得-x₁=3x₂．设直线l的方程为：y=kx+m．与椭圆方程联立化为（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，可得△＞0，化为2+k²＞2m²．可得根与系数的关系，与-x₁=3x₂联立解得即可．

解答： 解：（1）设P（x，y），Q（0，y）.

PA

=（1-x，-y），

PB

=（-1-x，-y），

PQ

=（-x，0）．
∵

PA

•

PB

+

PQ

2=0，∴x²-1+y²+x²=0，化为2x²+y²=1．
∴动点P的轨迹E的方程为y2+

x2

1 2

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵

MC

=3

CN

，
∴-x₁=3x₂．
设直线l的方程为：y=kx+m．
联立

y=kx+m 2x2+y2=1

，化为（2+k²）x²+2kmx+m²-1=0，
△=4k²m²-4（2+k²）（m²-1）＞0，
化为2+k²＞2m²．
∴x₁+x₂=-

2km

2+k2

，x₁x₂=

m2-1

2+k2

．
又-x₁=3x₂．，可得k²（4m²-1）=2-2m²，
∴2+

2-2m2

4m2-1

＞2m²，
化为

1

4

＜m2＜1，
解得-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1．
∴实数m的取值范围是(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

点评：本题考查了数量积运算性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．