Question

已知函数f（x）=

x-k+2

x2+1

，若存在实数m∈[-1，1]，使得f（m）=1，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：原命题等价于k=-m²+m+1在m∈[-1，1]的值域，由二次函数的区间最值可得．

解答： 解：由题意可得存在实数m∈[-1，1]，使得f（m）=

m-k+2

m2+1

=1，
变形可得k=-m²+m+1=-（m-

1

2

）²+

5

4

，
可看作关于m的二次函数，开口向下，
故当m∈[-1，

1

2

]时，关于m的函数单调递增，
当m∈[

1

2

，1]时，关于m的函数单调递减，
由对称性可知当m=

1

2

时，k取最大值

5

4

，
当m=-1时，k取最小值-1，
故实数k的取值范围为[-1，

5

4

]
故答案为：[-1，

5

4

]

点评：本题考查二次函数的区间最值，属基础题．