Question

18．已知三个正数a，b，c为等比数列，则$\frac{a+c}{b}$+$\frac{b}{a+c}$的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 利用等比数列求出a、b、c关系，然后通过构造函数判断函数的单调性，求解函数的最值．

解答 解：b²=ac⇒a+c≥2b⇒令y=$\frac{a+c}{b}$+$\frac{b}{a+c}$，设x=$\frac{a+c}{b}$，x≥2，
因为y=x+$\frac{1}{x}$在x≥2时是增函数，
所以y≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
则$\frac{a+c}{b}$+$\frac{b}{a+c}$的最小值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查数列与函数的综合应用，利用函数的单调性求解函数的最值，本题的易错解$\frac{a+c}{b}+\frac{b}{a+c}≥2\sqrt{\frac{a+c}{b}•\frac{b}{a+c}}=2$，取等条件至关重要．