Question

13．F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，则∠F₁PF₂=120°．

Answer 1

分析 根据双曲线的标准方程求出焦点坐标，结合余弦定理进行求解即可．

解答 解：由双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1知a=3，b=4，c=5，
则F₁（-5，0），F₂（5，0），则|F₁F₂|=10；
点P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，不妨设点P在右支上，
则|PF₁|-|PF₂|=6，
平方得（|PF₁|-|PF₂|）²=36，
即|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=36；
因为|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$，
所以|PF₁|²+|PF₂|²=$\frac{236}{3}$，
又由余弦定理得cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=$\frac{\frac{236}{3}-100}{2×\frac{64}{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以∠F₁PF₂=120°．
故答案为：120°．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线的定义结合余弦定理是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．