Question

10．已知直线l在y轴上的截距为-2，且垂直于直线x-2y-1=0．
（1）求直线l的方程；
（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=kx-2，利用两直线垂直斜率相乘为-1来求出另一条直线的斜率即可；
（2）由于△OAB是直角三角形，所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为$\frac{1}{2}|AB|$．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=kx-2．
直线x-2y-1=0的斜率为$\frac{1}{2}$，所以k=-2．
直线l的方程为y=-2x-2．
（2）设圆C的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
由于△OAB是直角三角形，
所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为$\frac{1}{2}|AB|$；
由A（-1，0），B（0，-2）得C（-$\frac{1}{2}$，-1），|AB|=$\sqrt{5}$；
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{D}{2}=-\frac{1}{2}}\\{-\frac{E}{2}=-1}\\{\frac{1}{2}\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}=\frac{1}{2}\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得D=1，E=2，F=0．
圆C的一般方程为：x²+y²+x+2y=0．

点评 本题主要考察了直线方程与斜率的关系，以及圆的一般方程等基础知识，属基础题．