Question

8．如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=$\sqrt{2}$，AB=BC=1，AD=2，E为PD中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：平面PAC⊥平面PDC；
（3）求二面角P-CD-A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出四边形MEBC为平行四边形，从而BM∥CE，由此能证明CE∥面PAB．
（Ⅱ）推导出PA⊥DC，DC⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面PDC．
（Ⅲ）推导出PC⊥CD，AC⊥CD，从而∠PCA即为二面角P-CD-A的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的大小．

解答 证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连接BM，ME∥AD，且ME=$\frac{1}{2}$AD，
BC∥AD，且BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴ME∥BC，且 ME=BC，
∴四边形MEBC为平行四边形，
∴BM∥CE，又CE?面PAB，BM?面PAB，
∴CE∥面PAB． …（3分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，
又AC²+CD²=2+2=AD²，∴DC⊥AC，
∵AC∩PA=A，∴DC⊥平面PAC，
又DC?平面PDC，
∴平面PAC⊥平面PDC．…（7分）
解：（Ⅲ）∵CD⊥平面PAC，∴PC⊥CD，AC⊥CD，
∴∠PCA即为二面角P-CD-A的平面角．
在Rt△PAC中，∵PA=AC=$\sqrt{2}$，
∴tan∠PCA=1，∴∠PCA=45°，
∴二面角P-CD-A的大小为45°…（10分）

点评 本题考查平面与平面所成的角、直线与平面平行及平面与平面垂直的判定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．