Question

9．已知$\overrightarrow m$=（2sinx，2cosx），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{π}{3}$，-sin$\frac{π}{3}$），f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$+1．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{2}$）的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（$\frac{π}{2}$x），求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）+g（2015）；
（Ⅲ） 若函数h（x）=$\frac{{sinx•{f^2}（x+\frac{π}{3}）-8}}{{1+{{cos}^2}x}}$在区间[-$\frac{5π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]上的最大值为M，最小值为m，求M+m的值．

Answer 1

分析 （I）由题意易得f（x）的解析式，可得f（$\frac{π}{2}$）的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）可得g（x）的解析式，可得g（x）的周期T=4，易得结果；
（Ⅲ）化简可得h（x）的解析式，由函数的奇偶性可得．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow m=（2sinx，2cosx）$，$\overrightarrow n=（cos\frac{π}{3}，-sin\frac{π}{3}）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+1$
∴$f（x）=2sinxcos\frac{π}{3}-2cosxsin\frac{π}{3}+1$，
∴$f（x）=2sin（{x-\frac{π}{3}}）+1$，
∴$f（\frac{π}{2}）=2$，
∴f（x）_max=3；
（Ⅱ）$g（x）=f（\frac{π}{2}x）=2sin（\frac{π}{2}x-\frac{π}{3}）+1$T=4$g（1）=2，g（2）=\sqrt{3}+1，g（3）=0，g（4）=-\sqrt{3}+1$，
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）+g（2015）=4×503+g（2013）+g（2014）+g（2015）=$2012+2+\sqrt{3}+1$=$2015+\sqrt{3}$；
（Ⅲ）∵$h（x）=\frac{{sinx•{f^2}（x+\frac{π}{3}）-8}}{{1+{{cos}^2}x}}=\frac{{sinx•{{（2sinx+1）}^2}-8}}{{1+{{cos}^2}x}}$
=$\frac{{4{{sin}^3}x+4sin{x^2}+sinx-8}}{{1+{{cos}^2}x}}$=$\frac{{4{{sin}^3}x+sinx+4（1-cos{x^2}）-8}}{{1+{{cos}^2}x}}$
=$\frac{{4{{sin}^3}x+sinx-4-4cos{x^2}}}{{1+{{cos}^2}x}}$=$\frac{{4{{sin}^3}x+sinx}}{{1+{{cos}^2}x}}-4$．
令$t（x）=\frac{{4{{sin}^3}x+sinx}}{{1+{{cos}^2}x}}$，t（-x）=-t（x），
∴t（x）为奇函数，因为奇函数图象关于原点对称，
∴在$[-\frac{5π}{4}，\frac{5π}{4}]$上t（x）_max+t（x）_min=0，
∴M+m=（t（x）_max-4）+（t（x）_min-4）=-8．

点评 本题考查三角函数公式，涉及函数的周期性和奇偶性，属中档题．