Question

已知抛物线y=x²+2与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线没有公共点，则双曲线离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式小于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．

解答： 解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±

b

a

x，与抛物线方程联立消去y得x²±

b

a

x+2=0 
∵渐近线与抛物线没有交点
∴△=（

b

a

）²-8＜0，求得b²＜8a²，
∴c=

a2+b2

＜3a
∴e=

c

a

＜3，
∵e＞1
∴双曲线的离心率e的取值范围：1＜e＜3．
故答案为：（1，3）．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．