Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设可得d=2，a₁=1，从而能够得到数列{an}的通项公式；
（2）因为b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用列项相消法求和即可．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0
由a₂+a₇=16．得2a₁+7d=16①
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①得2a₁=16-7d，将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220，
即256-9d²=220，
9d²=36，解得：d=±2，
又{a_n}是一个大于0的等差数列，
因此d=-2不符合题意舍去，所以d=2，代入①得a₁=1，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）因为b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与列项相消法求和，考查运算求解能力，属于中档题．