Question

5．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦函数的图象与性质，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$求出x的取值范围即可；
（Ⅱ）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，再求出y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）最值即可．

解答 解：（Ⅰ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
所以函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的单调增区间为
[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z； …（6分）
（Ⅱ）因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以2x∈[0，π]，
（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
所以当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$，即x=0时，
y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$时，
y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值1．  …（12分）

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．