Question

7．已知数列{a_n}和{b_n}，其中a_n=n²，n∈N^*，{b_n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^*，{b_n}的第a_n项等于{a_n}的第b_n项，则$\frac{lg（{b}_{1}{b}_{4}{b}_{9}{b}_{16}）}{lg（{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}{b}_{4}）}$=2．

Answer 1

分析 a_n=n²，n∈N^*，若对于一切n∈N^*，{b_n}中的第a_n项恒等于{a_n}中的第b_n项，可得${b}_{{a}_{n}}$=${a}_{{b}_{n}}$=$（{b}_{n}）^{2}$．于是b₁=a₁=1，$（{b}_{2}）^{2}$=b₄，$（{b}_{3}）^{2}$=b₉，$（{b}_{4}）^{2}$=b₁₆．即可得出．

解答 解：∵a_n=n²，n∈N^*，若对于一切n∈N^*，{b_n}中的第a_n项恒等于{a_n}中的第b_n项，
∴${b}_{{a}_{n}}$=${a}_{{b}_{n}}$=$（{b}_{n}）^{2}$．
∴b₁=a₁=1，$（{b}_{2}）^{2}$=b₄，$（{b}_{3}）^{2}$=b₉，$（{b}_{4}）^{2}$=b₁₆．
∴b₁b₄b₉b₁₆=$（{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}{b}_{4}）^{2}$．
∴$\frac{lg（{b}_{1}{b}_{4}{b}_{9}{b}_{16}）}{lg（{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}{b}_{4}）}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．