Question

根据以下数列{A_n}的通项公式，推导该数列的前n项和S_n．（要有详细过程）
①a_n=n²②a_n=n³．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：①下面利用“累加求和”推导①的前n项和公式．由于n³-（n-1）³=3n²-3n+1，可得3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，即3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n即可得出．
②推导an=n3的前n项和S_n=[

n(n+1)

2

]2．由于a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．利用数学归纳法证明即可．

解答： 解：①下面利用“累加求和”推导①的前n项和公式．
∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴3（1²+2²+…+n²）-3（1+2+…+n）+n=n³，
∴3S_n=n3+

3n(n+1)

2

-n=

n(n+1)(2n+1)

2

．
∴S_n=

n(n+1)(2n+1)

6

．：
②推导an=n3的前n项和S_n=[

n(n+1)

2

]2．
∵a₁=S₁=1³=1²，S₂=a₁+a₂=1³+2³=9=3²=（1+2）²．
S₃=a₁+a₂+a₃=1³+2³+3³=36=（1+2+3）²，
猜想：S_n=（1+2+…+n）²=[

n(n+1)

2

]2．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，S_k=[

k(k+1)

2

]2，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=[

k(k+1)

2

]2+（k+1）³=(k+1)2(

k2

4

+k+1)=(k+1)2•

(k+2)2

4

=[

(k+1)(k+1+1)

2

]2．
因此当n=k+1时，等式成立．
综上可得：等式对于?n∈N^*都成立．

点评：本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前n项和公式、数学归纳法，考查了猜想归纳推理证明的能力，考查了计算能力，属于难题．