Question

6．如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（AB＞AD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用．设AB′交DC于点P．问AB长为多少时，△ADP的面积最大？并求最大面积．

Answer 1

分析 由题意，设AB=x，AD=4-x．因x＞4-x，故2＜x＜4，设DP=y，则PC=x-y，运用三角形全等，结合勾股定理，可得y的关系式，记△ADP的面积为S₁，则S₁=$\frac{1}{2}$（4-x）（4-$\frac{8}{x}$），运用基本不等式可得最大值．

解答 解：由题意，设AB=x，AD=4-x．因x＞4-x，故2＜x＜4，
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y．
由 PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（4-x）²+y²，
即有y=4-$\frac{8}{x}$，2＜x＜4，
记△ADP的面积为S₁，则
S₁=$\frac{1}{2}$（4-x）（4-$\frac{8}{x}$）=12-2（x+$\frac{8}{x}$）≤12-8$\sqrt{2}$，
当且仅当x=2$\sqrt{2}$∈（1，2）时，S₁取得最大值12-8$\sqrt{2}$．
故当AB=2$\sqrt{2}$时，△ADP的面积最大，最大面积为12-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题