Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}前n项的和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=a_nlog₂（S_n+2），试求数列{b_n}前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由an=2n，利用等比数列的前n项和公式可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，可得b_n=a_nlog₂（S_n+2）=（n+1）•2ⁿ，再利用“错位相减法”与等比数列的前n选和公式即可得出．

解答： 解：（I）设等比数列{an}的首项为a₁，公比为q，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解之得a₁=2，q=2或a1=32，q=

1

2

，
又{an}单调递增，∴a₁=2，q=2，
∴an=2n
（2）由an=2n，
∴Sn=

2×(1-2n)

1-2

=2n+1-2，
∴Sn+2=2n+1，
∴bn=anlog2(Sn+2)=2n•log22n+1=(n+1)2n．
∴Tn=2×21+3×22+…+n•2n-1+(n+1)•2n，
2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+(n+1)•2n+1，
∴-Tn=2×21+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1
=2+（2¹+2²+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2×(1-2n)

1-2

-(n+1)•2n+1=-n•2n+1
∴Tn=n•2n+1．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．