Question

1．设△A BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△A BC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可知：2sinAcosC+sinC=2sinB，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入即可求得角A的大小；
（Ⅱ）由$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB，\;\;c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，由辅助角公式及B的取值范围，即可求得，$sin（{B+\frac{π}{6}}）∈（{\frac{1}{2}，\;\;1}]$．即可求得△A BC的周长的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2acosC+c=2b，
即2sinAcosC+sinC=2sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}sinC=cosAsinC$．
∵$sinC≠0，\;\;∴cosA=\frac{1}{2}$．
又∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理得$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB，\;\;c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，
∴$l=a+b+c=1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinB+sinC）=1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin（A+B）]$
=$1+2（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB}）=1+2sin（{B+\frac{π}{6}}）$．
∵$A=\frac{π}{3}$，
∴$B∈（{0，\;\;\frac{2π}{3}}），\;\;B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\;\;\frac{5π}{6}}）$，
∴$sin（{B+\frac{π}{6}}）∈（{\frac{1}{2}，\;\;1}]$．
故△A BC的周长的取值范围是（2，3]．

点评 本题考查正弦定理的应用，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．