Question

11．（1）设函数$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，求证：函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在区间[1，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，可求得f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，可证得函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）依题意，可求得当x∈[1，2]时，[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，f（x）=（log₄x-3）•log₄4x＞m在区间[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min，从而可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∴f′（x）=$\frac{{2}^{x}ln2}{{{（2}^{x}+1）}^{2}}$＞0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）∵1≤x≤2，
∴0≤log₄x≤$\frac{1}{2}$，
又f（x）=（log₄x-3）•log₄4x=（log₄x-3）•（1+log₄x）=${{log}_{4}}^{2}x$-2log₄x-3=（log₄x-1）²-4，
∴当x=2，log₄x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值，为f（2）=-$\frac{15}{4}$，
∴f（x）＞m在区间[1，2]上恒成立?m＜[f（x）]_min=-$\frac{15}{4}$，
即实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查导数法判断函数的单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．