Question

16．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$．
（1）求f（x）的最小正周期及函数的单调增区间；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求出f（x）的最值．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{sin^2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$是单调增函数，
解得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，（k∈Z）
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，（k∈Z）
（2）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
根据三角函数的图象和性质，可得：
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值，即$f（x）_{max}=2sin\frac{π}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$．
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数f（x）取得最小值，即$f（x）_{min}=2sin\frac{7π}{6}-\frac{1}{2}$=$-\frac{3}{2}$．
故得当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，函数f（x）的最大值和最小值分别为$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．