Question

9．如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，SD垂直于底
面ABCD，$SB=\sqrt{3}$；
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）求出BD=1，AC=$\sqrt{3}$，SD=$\sqrt{2}$，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积．
（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM与SB所成角．

解答 解：（1）∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的菱形，其中∠DAB=60°，
SD垂直于底面ABCD，$SB=\sqrt{3}$，
∴BD=1，AC=$\sqrt{1+1-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{3}$，
SD=$\sqrt{{SB}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四棱锥S-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{菱形ABCD}×SD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
（2）取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），M（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{SB}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\sqrt{2}$），
设异面直线DM与SB所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{SB}|}{|\overrightarrow{DM}|•|\overrightarrow{SB}|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
$θ=\frac{π}{3}$，
∴异面直线DM与SB所成角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．