Question

已知定义在正实数集R⁺上的减函数f（x）满足：
①f（

1

2

）=1；
②对任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）若f（x）=-2，求x的值；
（2）求不等式f（2x）+f（5-2x）≥-2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令x=y=1得f（1）=0，令x=2，y=

1

2

，求得f（2）=-1，再令x=y=2，得到f（4）=-2，再由单调性，即可得到x的值；
（2）原不等式等价为f[2x•（5-2x）]≥f（4），再由函数的单调性，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们，求交集即可．

解答： 解：（1）由于对任意正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），
则令x=y=1得，f（1）=2f（1），即f（1）=0，
又f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1=0，即有f（2）=-1，
则f（4）=2f（2）=-2，
由于f（x）在R⁺上是单调递减函数，
则f（x）=-2时，即有x=4；
（2）f（2x）+f（5-2x）≥-2=f（4），
即f[2x•（5-2x）]≥f（4），
又由于f（x）是R⁺的减函数，则

2x＞0 5-2x＞0 2x(5-2x)≤4

，即

x＞0 x＜ 5 2 x≥2或x≤ 1 2

，
故原不等式的解集为（0，

1

2

]∪[2，

5

2

）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及运用：解方程和解不等式，注意定义域的限制，考查运算能力，属于中档题．