Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，这个几何体的体积为

40

3

．
（1）证明：直线A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的长；
（3）在线段BC₁上是否存在点P，使直线A₁P与C₁D垂直，如果存在，求线段A₁P的长，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据长方体的性质推断出平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．进而根据线面平行的判定定理推断出A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）设A₁A=h，进而根据几何体的体积关系求得棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积，进而利用体积公式求得h．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，根据线面垂直的性质推断出A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，进而根据QP∥CB，CB∥A₁D₁，推断出QP∥A₁D₁，利用线面垂直的性质证明出A₁P⊥C₁D．通过△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，利用比例关系求得C₁Q，最后利用平方关系求得A₁P．

解答： （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）解：设A₁A=h，
∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为

40

3

，
∴VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=

40

3

，
即SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的长为4．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，过Q作QP∥CB交BC₁于点P，则A₁P⊥C₁D．
∵A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，
∴A₁P⊥C₁D．
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1，
又∵PQ∥BC，
∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四边形A₁PQD₁为直角梯形，且高D1Q=

5

，
∴A1P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生推理和分析能力．