Question

已知矩阵M=

1 0 2 1

．
（Ⅰ）请写出矩阵M对应的变换f的变换公式；
（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵M可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M^-1．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等,逆变换与逆矩阵

专题：矩阵和变换

分析：本题（Ⅰ）利用矩阵与向量积的运算法则可以得出结论；（Ⅱ）利用向量变换的几何意义可以写出逆矩阵．

解答： 解：（Ⅰ）假设M=

1 0 2 1

把任一点（x，y）变成（x'，y'），
则

x′ y′

=

1 0 2 1

x y

∴

x′=x y′=2x+y

．
（Ⅱ）从变换的角度看，变换f是可逆的．由（Ⅰ）得矩阵M对应的变换f是y轴方向上的切变变换．因为变换f把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标加上横坐标的2倍，所以它的逆变换f^-1应该是把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标减去横坐标的2倍．
∴

x′=x y′=-2x+y

，
∴M-1=

1 0 -2 1

．

点评：本题考查了矩阵与向量的乘法、逆矩阵的求法，本题在求逆矩阵时，还可以采用定义法或公式法加以研究．