Question

7．经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）=$\frac{1}{3}$x²+x（万元），在年产量不小于8万件时，W（x）=6x+$\frac{100}{x}$-38（万元）．通过市场分析，每件产品售价为5元时，生产的商品能当年全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（2）写出当产量为多少时利润最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．

解答 解：（1）$L（x）=5x-W-3=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3，0＜x＜8\\ 35-x-\frac{100}{x}，x≥8.\end{array}\right.$，
（2）当0＜x＜8时，$L（x）=-\frac{1}{3}{x^2}+4x-3=-\frac{1}{3}{（x-6）^2}+9$，
∴当x=6时，L_max1=9，
当x≥8时，$L（x）=35-x-\frac{100}{x}=35-（x+\frac{100}{x}）≤35-2\sqrt{100}=15$，
当且仅当$x=\frac{100}{x}$，即x=10时等号成立，∴L_max2=15，
∵L_max1＞L_max2，
∴当总产量达到10万件时利润最大．

点评 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．