Question

19．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），
（1）若函数f（x）在区间[-1，1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）在区间[-1，1]上不单调，则函数图象的对称轴x=$-\frac{a}{2}$∈[-1，1]，解得答案；
（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤-2，则M（a，b）=|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=$\left\{\begin{array}{l}|1+a+b|．a+ab≥0\\|1-a+b|．a+ab＜0\end{array}\right.$，进而可证得M（a，b）≥2．

解答 解：（1）由题意知：
函数f（x）的对称轴为x=$-\frac{a}{2}$----------------------（2分）
∵函数f（x）在区间[-1，1]上不单调，
∴$-\frac{a}{2}$∈[-1，1]----------------------------------------------（6分）
∴a∈[-2，2]--------------------------------------------（8分）
证明：（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤-2，-------------------（9分）
而函数f（x）的对称轴为直线x=$-\frac{a}{2}$，
M（a，b）=|f（x）|_max=max{|f（-1）|，|f（1）|}=$\left\{\begin{array}{l}|1+a+b|．a+ab≥0\\|1-a+b|．a+ab＜0\end{array}\right.$---------------------------（13分）
则4≤2|a|≤|1+a+b|+|1-a+b|≤2M（a，b）---------------（14分）
即M（a，b）≥2----------------------------------------------（15分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．