Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过双曲线y²-x²=8的焦点，离心率为

3

5

．
（1）求C的方程；  
（2）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据焦点，F₁（0，-4），F（0，4），得出b=4，c=3，b=4，即可求解方程．
（2）根据

x 2 1

25

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

16

=1，
两式相减到得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，

2

25

x_中+

1

8

y_中=0①，y_中=

4

5

x_中-

12

5

，②联立方程求解．

解答： 解：（1）∵双曲线y²-x²=8的焦点，
∴F₁（0，-4），F（0，4）
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过双曲线y²-x²=8的焦点，离心率为

3

5

．
∴b=4，a=5，c=3，

x2

25

+

y2

16

=1
∴C的方程：

x2

25

+

y2

16

=1，
（2）

x 2 1

25

+

y 2 1

16

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

16

=1，
两式相减到得

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，
化简得出：

2

25

x_中+

1

8

y_中=0，①
∵过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线，
∴y_中=

4

5

x_中-

12

5

，②
有①②得出；x_中=

5

3

y_中=-

16

15

，
∴中点坐标（

5

3

，-

16

15

）

点评：本题考查了圆锥曲线的方程，弦的中点问题，整体求解，属于中档题．