Question

椭圆的中心在原点，它的短轴长是2

2

，一个焦点F（c，0）（c＞0），直线l：x=

a2

c

与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若

OP•

OQ

=0，求直线PQ的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得b=

2

，A(

a2

c

，0)，由此能求出椭圆方程．
（2）设PQ与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ方程为y=k（x-3），把y=k（x-3）代入x²+3y²-6=0，x²+3k²（x-3）²-6=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线PQ的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆的中心在原点，它的短轴长是2

2

，一个焦点F（c，0）（c＞0），直线l：x=

a2

c

与x轴相交于点A，
∴b=

2

，A(

a2

c

，0)，（1分）
∵|OF|=2|FA|，∴c=2(

a2

c

-c)，
即c²=2b²，∴c²=4，（2分），
∴a²=6，∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1，e=

c

a

=

6

3

．（4分）
（2）设PQ与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ方程为y=k（x-3），（6分），
∵

OP

•

OQ

=0，∴OP⊥OQ，（7分）
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
把y=k（x-3）代入x²+3y²-6=0，x²+3k²（x-3）²-6=0，（8分）
（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0，

x1+x2= 18k2 1+3k2 x1•x2= 27k2-6 1+3k2

，（9分）
k（x₁-3）•k（x₂-3）=-x₁x₂
k2(

27k2-6

1+3k2

-3

18k2

1+3k2

+9)=-

27k2-6

1+3k2

k2•

27k2-6-54k2+27k2+9

1+3k2

=

6-27k2

1+3k2

，
3k²=6-27k²，（11分）
解得k2=

1

5

，∴k=±

5

5

，（12分）
∴直线PQ的方程为y=±

5

5

(x-3)．（14分）

点评：本题考查椭圆方程及离心率的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．