Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，满足条件：①f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）判断f（x）在（0，+∞））上的单调性，并加以证明；
（Ⅱ）若f（2）=1，求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先判断，后证明，利用单调性的定证明；
（Ⅱ）由2=f（2）+f（2）=f（4）将f（x）+f（x-3）≤2化为f（x（x-3））≤f（4），从而求解．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）为定义域上的增函数，证明如下：
设任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
因为f（xy）=f（x）+f（y），所以f（xy）-f（x）=f（y），
取xy=x₂，x=x₁，则y=

x2

x1

，即f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因为x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，
又当x＞1时，f（x）＞0恒成立，所以f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）是（0，+∞）上的增函数．
（Ⅱ）由2=f（2）+f（2）=f（4），
则f（x）+f（x-3）≤2可化为f（x（x-3））≤f（4），
即

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，
解得，3＜x≤4，
故x的取值范围为（3，4]．

点评：本题考查了抽象函数的单调性的证明与应用，属于中档题．