Question

7．设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左、右焦点，
（Ⅰ）若椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，求b的值；
（Ⅱ）过F₁的直线l与E相交于A、B两点，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的离心率为$\frac{1}{2}$，利用椭圆性质能求出b．
（Ⅱ）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，且2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{1-{b}^{2}}}{\sqrt{1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∵F₁，F₂分别是椭圆E：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左、右焦点，
过F₁的直线l与E相交于A、B两点，
|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
解得|AB|=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法及应用，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．